06 | 特征分析 ¶
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为什么要研究特征分析？
给系统一个很好的表征
找到复杂信号的简单表达
线性空间 ¶
基与坐标 ¶
正交化 ¶
我们可以采集到很多信号，可以用均值、协方差来表征
但是，信号可能是耦合关联的，这说明有冗余信息
我们希望建立一个向量组，元素和元素之间是无关的，协方差矩阵是对角矩阵
线性映射 ¶
线性映射（Linear Mapping）是指满足齐次性（Homogeneity）和叠加性（Additivity）的映射。
\[
T(c_1\mathbf{u} + c_2\mathbf{v}) = c_1T(\mathbf{u}) + c_2T(\mathbf{v})
\]
其中，\(c_1\) 和 \(c_2\) 是任意标量，\(\mathbf{u}\) 和 \(\mathbf{v}\) 是任意向量。
举例：投影矩阵
正交投影矩阵
平面，向 y 轴投影
\[
\omega = T(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix})
\]
\[
T = \begin{bmatrix} 0&0\\0&1 \end{bmatrix}
\]
特征值 ¶
对于方阵 \(A\)，满足以下方程的 \(\lambda\) 称为特征值
第一定义
\[
\mathbf{A} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
\]
第二定义
\[
det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0
\]
- \(A = A^H\)，特征值为实数
- 同一特征值的重复次数称为代数重数
- 特征值的个数称为几何重数
特征值和正定性
- 特征值为正，矩阵正定
- 特征值非负，矩阵半正定
- 特征值为负，矩阵负定
- 特征值非正，矩阵半负定
- 特征值有正有负，矩阵不定
性质
\[
det(A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i
\]
\[
tr(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i
\]
所有特征值的集合 矩阵的谱 spectrum
\[
\lambda(A) = \{\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\}
\]
\[
\rho(A) = \max_{i=1,2,\cdots,n} |\lambda_i| = |(\lambda(A))|_{L_{\infty}}
\]
特征值的模
矩阵多项式 ¶
\[
A\nu = \lambda \nu
\]
\[
A^2\nu = A(A\nu) = A(\lambda \nu) = \lambda (A\nu) = \lambda^2 \nu
\]
\[
A^k\nu = \lambda^k \nu
\]
\[
e^A = I + A + \frac{A^2}{2!} + \cdots + \frac{A^k}{k!} + \cdots
\]
\[
[e^A] \nu = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} \nu = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} \nu = e^{\lambda} \nu
\]
Cayley-Hamilton 定理 - 求逆 ¶
\[
P_n A^n + P_{n-1}A^{n-1} + \cdots + P_1A + P_0I = 0
\]
- \(P_n\) 来自 \(P(x) = det(xI - A)\)
同乘 \(A^{-1}\)
\[
P_n A^{n-1} + P_{n-1}A^{n-2} + \cdots + P_1I + P_0A^{-1} = 0
\]
\[
A^{-1} = -\frac{1}{P_0}(P_n A^{n-1} + P_{n-1}A^{n-2} + \cdots + P_1I)
\]