不等式 ¶
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基础知识 ¶
- 不等式是数学中描述两个量大小关系的式子，常见符号有 \(>\)、\(<\)、\(\geq\)、\(\leq\)。
- 常用方法：基本不等式、均值不等式、排序不等式、柯西不等式、数学归纳法等。
常见不等式与证明 ¶
柯西不等式（Cauchy-Schwarz 不等式）¶
公式：
对于任意实数列 \(a_1, a_2, \dots, a_n\) 和 \(b_1, b_2, \dots, b_n\)，有
\[
\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)
\]
等号成立条件： 当且仅当存在常数 \(\lambda\) 使得 \(a_i = \lambda b_i\) 对所有 \(i\) 成立。
证明：
考虑对任意实数 \(t\)，有
\[
0 \leq \sum_{i=1}^n (a_i - t b_i)^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 - 2t\sum_{i=1}^n a_i b_i + t^2\sum_{i=1}^n b_i^2
\]
这是关于 \(t\) 的一元二次方程，判别式 \(\leq 0\)，即
\[
\left(2\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 - 4\sum_{i=1}^n a_i^2 \sum_{i=1}^n b_i^2 \leq 0 \\
\implies \left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)
\]
排序不等式 ¶
内容：
设 \(a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n\)，\(b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n\)，则
\[
\sum_{i=1}^n a_i b_i \geq \sum_{i=1}^n a_i b_{\sigma(i)}
\]
其中 \(\sigma\) 是任意一个 \(1,2,\dots,n\) 的排列。
等号成立条件： 当 \(b_i\) 的排列与 \(a_i\) 相同（即同序）时取等号。
证明思路：
利用交换两个相邻元素后和的变化，归纳法或反证法证明。
切比雪夫不等式（Chebyshev 不等式）¶
公式：
若 \(a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n\)，\(b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n\)，则
\[
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i b_i \geq \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i\right)\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n b_i\right)
\]
等号成立条件： 当 \(a_i\) 或 \(b_i\) 全相等，或 \(a_i\) 与 \(b_i\) 成比例时。
证明：
由排序不等式可知
\[
\sum_{i=1}^n a_i b_i \geq \sum_{i=1}^n a_i b_{\sigma(i)}
\]
取 \(\sigma\) 为逆序排列，结合均值不等式可得结论。