03 | 矩阵性质 ¶
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正定 ¶
相似 ¶
若存在非奇异矩阵 S, 使得 \(B = S^{-1}AS\)，则称为 \(B\) 相似与 \(A\)
- 相似矩阵的特征值相同，特征向量存在线性变换关系
\[
\begin{align*}
Bx &= \lambda x \\
S^{-1}ASx &= \lambda x \\
ASx &= \lambda Sx \\
A(Sx) &= \lambda (Sx)
\end{align*}
\]
- \(det(B)=det(A)\)，因为行列式是特征值的乘积
- \(tr(B)=tr(A)\)，因为迹是特征值的和