最优控制 ¶
什么是最优控制：
- 在一定约束条件下，达到的最优的系统表现
什么是最优？
- 人为设计惩罚函数
- 系统表现
- 控制系统中的最优是综合分析的结果
\[
e = y-r
\]
假设一个轨迹跟踪过程
令
\[
J = \int_{0}^{t} q *(e)^2 + r *(u)^2 dt
\]
- \(q\) 和 \(r\) 是人为设计的惩罚系数。
- \(\int_{0}^{t} q *(e)^2\) 表示跟踪误差的惩罚
- \(\int_{0}^{t} r *(u)^2\) 表示控制量的惩罚。
我们的目的就是设计一个控制器，使得 \(J\) 最小。
对于 MIMO 系统，最优控制问题可以表示为：
\[
\min_{u(t)} J = \int_{0}^{\infty} \mathbf{E}^T \mathbf{Q} \mathbf{E} + \mathbf{U}^T \mathbf{R} \mathbf{U} dt
\]
- \(\mathbf{E} = \begin{pmatrix} e_1 & e_2 & \cdots & e_n \end{pmatrix}^T\) 是跟踪误差
- \(\mathbf{Q} = diag(q_1, q_2, \cdots, q_n)\) 是跟踪误差的惩罚矩阵
- \(\mathbf{U} = \begin{pmatrix} u_1 & u_2 & \cdots & u_n \end{pmatrix}^T\) 是控制量
- \(\mathbf{R} = diag(r_1, r_2, \cdots, r_n)\) 是控制量的惩罚矩阵
如果要关心输入，那么需要提高 \(r\) 的值，如果关心输出，那么需要提高 \(q\) 的值。