02 | 性能分析 ¶
微分方程 ¶
传递函数 ¶
Laplace 变换 ¶
时域性能指标 ¶
二阶系统的特征多项式通常表示为：
\[
s^2 + 2\zeta\omega_ns + \omega_n^2
\]
其中： - \(s\) 是复数频率变量。 - \(\zeta\) 是阻尼比。 - \(\omega_n\) 是无阻尼系统的自然频率
动态指标性能
- 上升时间（Rise Time）: \(T_r = \frac{\pi - \beta}{\omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}}\)
- 峰值时间（Peak Time）: \(T_p = \frac{\pi}{\omega_d} = \frac{\pi}{\omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}}\) ，峰值时间的等高线是一条射线，且等峰值线是虚轴相同。
- 超调量（Overshoot）: \(\sigma = e^{-\frac{\zeta \pi}{\sqrt{1 - \zeta^2}}}\) ，超调量只由阻尼比 \(\zeta\) 决定。
- 调节时间（Settling Time）:
- 5% 误差 : \(T_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}\)
- 2% 误差 : \(T_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}\)
- 衰减比（Damping Ratio）: \(n = \frac{\sigma}{B'} = e^{-\frac{2\zeta \pi}{\sqrt{1 - \zeta^2}}}\)
Error Dynamics¶
如果期望关节位置为 \(\theta_d(t)\) , 实际关节位置为 \(\theta(t)\) , 那么关节误差就为：
\[
\theta_e(t)=\theta_d(t)-\theta(t)
\]
上面方程对应的微分方程就称为 error dynamics, 那么反馈控制器控制的目标也很明显，就是让 \(\theta_e(t)\) 尽可能小，趋近于 0 或等于 0.
评价标准：稳（稳态误差很小
） ，准（没有超调或者很小） ，快（调节时间很短）
\[
a_{p}\theta_{e}^{(p)}+a_{p-1}\theta_{e}^{(p-1)}+\cdots+a_{2}\ddot{\theta}_{e}+a_{1}\dot{\theta}_{e}+a_{0}\theta_{e}=c
\]
对于齐次线性误差动力学 (\(c=0\))，就有：
\[
\begin{align*}
\theta_{e}^{(p)}&=-\frac{1}{a_{p}}(a_{p-1}\theta_{e}^{(p-1)}+\cdots+a_{2}\ddot{\theta}_{e}+a_{1}\dot{\theta}_{e}+a_{0}\theta_{e})\\
&=-a_{p-1}^{\prime}\theta_{e}^{(p-1)}-\cdots-a_{2}^{\prime}\ddot{\theta}_{e}-a_{1}^{\prime}\dot{\theta}_{e}-a_{0}^{\prime}\theta_{e}
\end{align*}
\]
\(x_1 = \theta_e, x_2 = \dot{\theta}_e, x_3 = \ddot{\theta}_e\), 转为能控标准型
得到
\[
\dot{x}_p = -a_0'x_1 - a_1'x_2 - a_2'x_3 \dots - a_{p-1}'x_p
\]
\[
\dot{x}(t) = Ax(t)
\]
\[
A=\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots&0&0\\0&0&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1&0\\0&0&0&\cdots&0&1\\-a_0^{\prime}&-a_1^{\prime}&-a_2^{\prime}&\cdots&-a_{p-2}^{\prime}&-a_{p-1}^{\prime}\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{p\times p}
\]
要想让 \(x_p\) 趋近于 0，需要 \(A\) 的特征值在复平面左半平面，即 \(Re(\lambda_i) < 0\)
first order system¶
second order system¶
\[
\mathfrak{m}\ddot{\theta}_{e}+b\dot{\theta}_{e}+k\theta_{e}=f
\]
如果 \(m \neq 0\)，那么二阶误差动力学就为：
\[
\ddot{\theta}_e(t) + \frac{b}{m} \dot{\theta}_e(t) + \frac{k}{m} \theta_e(t) = 0
\]
写成二阶形式：
\[
\ddot{\theta}_e(t) + 2\zeta \omega_n \dot{\theta}_e(t) + \omega_n^2 \theta_e(t) = 0
\]
\(\omega_n = \sqrt{k/m}\) 就是熟悉的固有频率， \(\zeta = b/2\sqrt{km}\) 就是阻尼比 , 那么特征多项式为：
\[
s^2 + 2\zeta \omega_n s + \omega_n^2 = 0
\]
两个根为：
\[
s_1 = -\zeta \omega_n + \omega_n \sqrt{\zeta^2 - 1} \\
s_2 = -\zeta \omega_n - \omega_n \sqrt{\zeta^2 - 1}
\]